الرياضيات المتناهية الأمثلة

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} = 11$

خطوة 1

اطرح $11$ من كلا المتعادلين.

$\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$

خطوة 2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$x - 3, x - 9, 1, 1$

خطوة 2.2

المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر عدد موجب يمكن قسمته على جميع الأعداد بالتساوي.

1. اكتب قائمة العوامل الأساسية لكل عدد.

2. اضرب كل عامل في أكبر عدد من مرات ظهوره في أي رقم.

خطوة 2.3

العدد $1$ ليس عددًا أوليًا لأن له عامل موجب واحد فقط، وهو العدد نفسه.

ليس أوليًا

خطوة 2.4

المضاعف المشترك الأصغر لـ $1, 1, 1, 1$ هو حاصل ضرب كل العوامل الأساسية في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من العددين.

$1$

خطوة 2.5

عامل $x - 3$ هو $x - 3$ نفسها.

$(x - 3) = x - 3$

تحدث $(x - 3)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.6

عامل $x - 9$ هو $x - 9$ نفسها.

$(x - 9) = x - 9$

تحدث $(x - 9)$ بمعدل $1$ من المرات.

خطوة 2.7

المضاعف المشترك الأصغر لـ $x - 3, x - 9$ هو حاصل ضرب كل العوامل في أكبر عدد من المرات التي تظهر فيها في أي من الحدين.

$(x - 3) (x - 9)$

خطوة 3

اضرب كل حد في $\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$ في $(x - 3) (x - 9)$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب كل حد في $\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 9} - 11 = 0$ في $(x - 3) (x - 9)$ .

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x - 9)) - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{x - 3} ((x - 3) (x - 9)) - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x - 9 - \frac{1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x - 9}$ إلى بسط الكسر.

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 3) (x - 9)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.2.2

أخرِج العامل $x - 9$ من $(x - 3) (x - 9)$ .

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 9) (x - 3)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$x - 9 + \frac{- 1}{x - 9} ((x - 9) (x - 3)) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$x - 9 - (x - 3) - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 9 - x - - 3 - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 ((x - 3) (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.5

وسّع $(x - 3) (x - 9)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x (x - 9) - 3 (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 (x - 9)) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 9 - x + 3 - 11 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.6.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.6.1.2

انقُل $- 9$ إلى يسار $x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 9 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 9) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.6.1.3

اضرب $- 3$ في $- 9$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 9 x - 3 x + 27) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.6.2

اطرح $3 x$ من $- 9 x$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 (x^{2} - 12 x + 27) = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} - 11 (- 12 x) - 11 \cdot 27 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.8.1

اضرب $- 12$ في $- 11$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 11 \cdot 27 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.1.8.2

اضرب $- 11$ في $27$ .

$x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 9 - x + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اطرح $x$ من $x$ .

$0 - 9 + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.2.1.2

اطرح $9$ من $0$ .

$- 9 + 3 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

أضف $- 9$ و $3$ .

$- 6 - 11 x^{2} + 132 x - 297 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.2.2.2.2

اطرح $297$ من $- 6$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 ((x - 3) (x - 9))$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وسّع $(x - 3) (x - 9)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x (x - 9) - 3 (x - 9))$

خطوة 3.3.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 (x - 9))$

خطوة 3.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x \cdot x + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9)$

خطوة 3.3.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} + x \cdot - 9 - 3 x - 3 \cdot - 9)$

خطوة 3.3.2.1.2

انقُل $- 9$ إلى يسار $x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 9 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 9)$

خطوة 3.3.2.1.3

اضرب $- 3$ في $- 9$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 9 x - 3 x + 27)$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $3 x$ من $- 9 x$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0 (x^{2} - 12 x + 27)$

خطوة 3.3.3

اضرب $0$ في $x^{2} - 12 x + 27$ .

$- 11 x^{2} + 132 x - 303 = 0$

خطوة 4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.2

عوّض بقيم $a = - 11$ و $b = 132$ و $c = - 303$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 132 \pm \sqrt{132^{2} - 4 \cdot (- 11 \cdot - 303)}}{2 \cdot - 11}$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

ارفع $132$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 - 4 \cdot - 11 \cdot - 303}}{2 \cdot - 11}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot - 11 \cdot - 303$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $- 11$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 + 44 \cdot - 303}}{2 \cdot - 11}$

خطوة 4.3.1.2.2

اضرب $44$ في $- 303$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{17424 - 13332}}{2 \cdot - 11}$

خطوة 4.3.1.3

اطرح $13332$ من $17424$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{4092}}{2 \cdot - 11}$

خطوة 4.3.1.4

أعِد كتابة $4092$ بالصيغة $2^{2} \cdot 1023$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4092$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{4 (1023)}}{2 \cdot - 11}$

خطوة 4.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 132 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1023}}{2 \cdot - 11}$

خطوة 4.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{2 \cdot - 11}$

خطوة 4.3.2

اضرب $2$ في $- 11$ .

$x = \frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{- 22}$

خطوة 4.3.3

بسّط $\frac{- 132 \pm 2 \sqrt{1023}}{- 22}$ .

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

خطوة 4.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{66 + \sqrt{1023}}{11}, \frac{66 - \sqrt{1023}}{11}$

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{66 \pm \sqrt{1023}}{11}$

الصيغة العشرية:

$x = 8.90767010 \dots, 3.09232989 \dots$